习题 5, § 1

令$K$为非离散值域，$S$为任意无限集合。

a) 设 D = (a_n) 为 S 的元素的可枚举无穷大。对于每个 $\lambda \in K$ 使得 $|\lambda| \leq 1$，令 $u_\lambda$ 为范数空间 $\mathscr{B}_K(S)$ 的元素，(I，p. 4， $\bar{K}$ 中 S 的有界映射例)，使得 $u_\lambda(a_n) = \lambda^n$ 适合所有 $n \in \mathbf{N}$，$u_\lambda(b) = 0$ 适合 $b \notin D$。证明族 $(u_\lambda)$ 在代数上是独立的。 b) 推论向量空间$\mathscr{B}_K(S)$的每个基与$K^S$具有相同的基数（使用a）表明$\mathscr{B}_K(S)$的每个基的基数至少等于卡（K）； 注另一方面，Card($\mathscr{B}_K(S)$) = Card(K^S) 并使用 A, II, § 2，exerc。 22）。 c) 以同样的方式证明向量空间$\ell_K^1(S)$的每个基都有$(K \times S)^{\mathbf{N}}$的基数。