习题 10, § 2

设 K 为局部紧致非离散值除法环，且有限维的 E 左向量空间在 K 上。用 E 上范数的 $\mathfrak{N}(E)$ 集合表示，即空间 $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$ 的子空间 E 的映射，连续（在规范的拓扑中），在 $\mathbf{R}$ 中。 a) 当我们给 $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$ 紧致收敛拓扑 \* （对于它它是一个 Fréchet 空间）*，集合 $\mathfrak{N}(E)$ 在 $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$ 中闭合，并且是局部紧致的。 b) 设$p_0$为$\mathfrak{N}(E)$中的元素；表明$\mathfrak{N}(E)$中存在$[0, 1] \times \mathfrak{N}(E)$的连续映射$(\lambda, p) \mapsto \pi_\lambda(p)$，使得每个$p \in \mathfrak{N}(E)$都有$\pi_0(p) = p$和$\pi_1(p) = p_0$。