习题 12, § 2

令 K 为局部紧致除法环，其绝对值是非离散且超度量的。如果满足超度量不等式 (II, p. 2)，我们称左向量空间 E 上的 K 上的范数为超范数。 a) 令 E 为 K 上的有限维左向量空间，令 $\alpha$ 为 E 上的超范数，且 E 中的 H 超平面由方程 $\langle x, a^* \rangle = 0$ 给出。证明存在点$x_0 \in E$，此时函数$x \mapsto |\langle x, a^* \rangle|/\alpha(x)$在$E \setminus \{0\}$达到上界；表明那么

推断存在 E 的基 $(a_i)$ 和实数 $> 0$ 的族 $(r_i)$，这样，对于所有 $x = \sum_i \xi_i a_i$，我们有 $\alpha(x) = \sup_i (r_i |\xi_i|)$。我们说$\alpha$相对于基$(a_i)$处于标准形式中。 b) 令$\alpha^*$在$E^*$上为范数，E的对偶与$\alpha$规范相关 这是一种超常现象。证明对于 E 中的所有 $x_0 \neq 0$，存在 $x_0^* \in E^*$ 使得 $\alpha(x_0) = |\langle x_0, x_0^* \rangle|/\alpha^*(x_0^*)$。 c) 令 $\alpha, \beta$ 为 E 上的任意两个超范数。证明存在 E 的基，使得相对于此基 $\alpha$ 和 $\beta$ 均为标准形式（考虑点 $x_0 \in E \setminus \{0\}$，此时 $\alpha/\beta$ 达到）其最大值；然后使用 b) 并在昏暗 E) 上继续进行归纳。 d) 令 E 上超范数的 $\mathfrak{N}_0(E)$、集合被视为 $\mathfrak{N}(E)$ 的子空间（练习 10）。证明 $\mathfrak{N}_0(E)$ 在 $\mathfrak{N}(E)$ 关闭。令$\alpha_0$为$\mathfrak{N}_0(E)$中的元素；对于每个$\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$和$0 \leq t \leq 1$，让$P_\alpha(t)$是$\beta \in \mathfrak{N}_0(E)$的集合，这样对于所有$x \in E$来说$\beta(x) \leq \alpha_0(x)^{1-t} \alpha(x)^t$。证明 $P_\alpha(t)$ 不为空且 $\pi_t^\alpha = \sup P_\alpha(t)$ 是超范数。此外，Ω_0(E) 中 [0, 1] × Ω_0(E) 的映射 (t, α) ↦ π_t^α 是连续的，并且使得 π_0^α = α_0 且 π_1^α = α（使用 c））。

e) 令 A 为 K 的绝对值值的环，m 为其最大理想，使得 k = A/m 为有限域，其中 q 元素（CA，VI, § 5, No. 1，道具 2）。对于 E 上的每个超范数 α，商群 R/(Z.log q) 中典范映射下的 x ∈ E \ {0} 的 log α(x) 值集合像 Xα 是一个有限集合，至多具有 n = 暗淡 E 元素（使用a））；其中元素中的数用r(α)表示，称为α的秩。证明 r 是 N 中 Ω_0(E) 的下半连续映射，并且 α 的集合 Ω'_0(E)，其中 r(α) = n 是开路且在 Ω_0(E) 中处处稠密（使用 a) 和 c)）。

f) 假设 r(α) = n；令(a_i)为E的基，相对于α为标准形式；证明 Ω'_0(E) 中存在 α 的邻域 V，使得每个 β ∈ V 相对于 (a_i) 具有标准形式（使用 b)）；推论出 R^n 中存在 α 同胚于开集合的邻域 W ⊂ V。

g) 对于 E 的每个基 (a_i)，证明相对于 (a_i) 具有标准形式的超范数 α 的集合在 Ω_0(E) 中闭合。推断如果 α ∈ Ω'_0(E) 具有相对于 (a_i) 的标准形式，则对于 Ω'_0(E) 中连接分量​​ 包含 α 的所有元素也是如此。 \*