习题 2, § 2

在乘积拓扑向量空间E = $\mathbf{R}^N$超过域$\mathbf{R}$，用直和$\mathbf{R}^{(N)}$典范基$e_n$($n \in \mathbf{N}$)元素表示。将 $n \geq 1$ 写为$a_0 = e_0$、$a_n = e_0 + (1/n)e_n$。证明，对于每个整数 $n \geq 0$，$a_i$ 使得 $0 \leq i \leq n$ 形式是 E 中的拓扑独立族，但无限族 $(a_n)_{n \geq 0}$ 不是拓扑独立的。如果M是E/M 形式中$a_n$的闭向量子空间$Ra_0$，类$\dot{a}_n$一个拓扑独立族（对于$n \geq 1$），但生成闭向量子空间N由 $a_n$，与指标 $n \geq 1$，E 包含 M。