习题 4, § 2

用 K 域 $\mathbf{R}$ 和绝对值 $p(\xi) = |\xi|^{1/2}$ 表示。令 E 为在 $I = \{0, 1\}$ 上定义的实值调节函数的 K 上的向量空间，在右侧各处连续，并且在点 1 处为零；证明在 E 映射 $x \mapsto \|x\| = \int_0^1 |x(t)|^{1/2} dt$ 上是范数。证明对于E中的每个函数$x \geq 0$，E中存在两个函数$x_1 \geq 0$，$x_2 \geq 0$，使得$x = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$和$\|x_1\| = \|x_2\| = \frac{1}{\sqrt{2}} \|x\|$。推断 E 上的每个连续线性形式都相同零。