习题 6, § 2

令K为将$\mathbf{Q}^2$的通常拓扑通过映射$(x, y) \mapsto x + y \sqrt{2}$转移到域$\mathbf{Q}(\sqrt{2})$得到的拓扑划分环。 a) 令 E 为集合 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$，其向量空间结构在 K 上，并且拓扑由 $\mathbf{R}$ 诱导。证明 E 是 K 上维数 1 的豪斯多夫拓扑向量空间，但它与 $K_s$ 不同构。 b) 令 F 为 K 上的拓扑向量空间 $E \times E$；在 F 中，超平面 $E \times \{0\}$ 是闭集，但$E \times E$ 上不存在连续的线性形式 $f$，因此超平面由方程 $f(x) = 0$ 给出。