习题 2, § 3

令 E 和 F 是非离散值除法环上的两个完整的、可度量的向量空间，并令 $\mathscr{T}_0$ 为 F 的拓扑。令 $\mathscr{T}$ 为 F 上的 Hausdorff 拓扑，比 $\mathscr{T}_0$ 更粗糙。证明如果 F 中 E 的线性映射 $u$ 对于 F 上的拓扑 $\mathscr{T}$ 连续，则对于 F 上的拓扑 $\mathscr{T}_0$ 仍然连续（使用 I、p. 19 的相关 5）。 推断如果 $\mathscr{T}_1$ 和 $\mathscr{T}_2$ 是向量空间 E 上非离散值除法环上的两个不同拓扑，与 E 的向量空间结构兼容，并且对于它们中的每一个 E 都是可度量且完备的，则 E 上不存在比 E 更粗糙的 Hausdorff 拓扑 $\mathscr{T}_1$ 和 $\mathscr{T}_2$。给出无限维向量空间 E 上两个此类拓扑的例（注，E 本身存在双射，使得对于 E 上的赋范空间拓扑，双射及其逆都不是连续的）。