习题 6, § 3

令 E 为非离散值除法环 K 上的完全可度量向量空间。 a) 令$p$为E在$\overline{\mathbf{R}}$区间$[0, + \infty)$内的下半连续映射，使得K中的$\lambda \neq 0$有$p(\lambda x) = |\lambda|.p(x)$和$x \in E$，使得E中的任何$x, y$有$p(0) = 0$和$p(x + y) \leq p(x) + p(y)$。 $p$ 在 E 中是有限的，则 $p$ 是连续的（考虑 $x \in E$ 的闭集合 B，使得 $p(x) \leq 1$，并使用 Baire 的定理）。 b) 令$(p_n)$为a)的$(0, +\infty)$满足条件中E的映射的序列。证明，如果 E 中没有一个 $p_n$ 是有限的，则存在点 $x \in E$，使得所有 $n$ 都有 $p_n(x) = +\infty$（与上面的方法相同）。