习题 7, § 3

设 E 是非离散值除法环 K 上的完全可度量向量空间。如果 M 上存在完全可度量向量空间结构，且 E 中 M 的典范嵌入是连续的，则我们说 E 的向量子空间 M 是拟完备的。 a) 设 M、N 为 E 的两个平行完备子空间，使得 M + N 和 M ∩ N 在 E 中闭。证明 M 和 N 在 E 中闭。（将问题与 M ∩ N 约化商到 M ∩ N = {0} 的情况，然后我们可以考虑 M × N 的映射 $(x, y) \mapsto x + y$ E）。 b) 证明如果 E 是平行完备子空间、$(M_j)_{j \geq 0}$ 的递增序列的并，则存在指标 j 使得$M_j = E$。 （使用Baire的定理（GT，IX, § 5.3，第1）和I，p. 17，第1）。