习题 8, § 3

设 E 是非离散值除法环 K 上的 Banach 空间。如果 M 上存在范数 $\|x\|_M$，其中 M 是 Banach 空间并且 E 中 M 的典范嵌入是连续的，则我们说 E 的向量子空间 M 是强拟完备的。 a) 证明如果 M 和 N 是 E 的两个强拟完备子空间，则 M + N 和 M ∩ N 也是强拟完备子空间。 （在 M + N 上，考虑范数 $\|x\|_{M+N} = \inf(\|u\|_M + \|v\|_N)$，其中下界取代所有对 $(u, v)$，使得 $x = u + v,\ u \in M$ 和 $v \in N$。） b) 设 M、N 是 E 的两个强平行完备子空间，使得 N 和 M + N 是封闭的。显示 $\overline{M} = M + (\overline{M} \cap \overline{N})$ 和 $\overline{M \cap N} = \overline{M} \cap \overline{N}$（使用练习 7，a））。