习题 9, § 3

a) 令 a, b 为域 R 上赋范空间 E 的两个点。用 $\delta(A)$ 表示 E 中有界集合 A 的直径（在 E 上使用范数度量）并归纳定义序列 E 满足中的有界集合的$(B_n)_{n \geq 1}$以下条件：$B_1$是$x \in E$中的集合，使得$\|x - a\| = \|x - b\| = \frac{1}{2}\|a - b\|$；对于$n > 1$，$B_n$是那些$x \in B_{n-1}$的集合，这样$\|x - y\| \leq \frac{1}{2}\delta(B_{n-1})$对于所有$y \in B_{n-1}$。证明 $B_n$ 中的交只是单个点 $\frac{1}{2}(a + b)$（注 $\delta(B_n) \leq \frac{1}{2}\delta(B_{n-1})$）。 b) 从a)推导出，如果$u$是实Banach 空间 E在实Banach 空间 F上的等距，则$u$是E在F上的仿射线性映射。