习题 14, § 2

令 A 为 E 的非空闭凸子集，豪斯多夫拓扑向量空间。 a) 证明，对于每个 $a \in A$，集合 $\bigcap_{\lambda > 0} \lambda(A - a)$ 是 E 中的封闭凸锥，顶点为 0，与 $a$ 无关。它被称为 A 的渐近锥，写作 $C_A$。对于每个$a \in A$，集合$a + C_A$是$\{a\}$的并，以及那些包含在A中并且以$a$作为末端点的开放半线。 b) 如果$x, y$是A的两个点，使得$(x + C_A) \cap (y + C_A)$是一个顶点为$z \in A$的圆锥体，那么这个圆锥体必然是$z + C_A$。 c) 如果 B 是 E 的第二个闭凸子集，使得$A \cap B \neq \varnothing$，则$C_{A \cap B} = C_A \cap C_B$。 d) 设$V_A$为最大的向量子空间（必然在E中闭），它包含在$C_A$中。证明如果$\phi$是$E/V_A$上E的典范同态，则$A = \phi^{-1}(A_0)$，其中$A_0$是$E/V_A$中的闭凸集合，它没有包含任何直线。 e) 在$\mathbf{R}$（I，p. 4）中$\mathbf{N}$有界映射的Banach空间$\mathscr{B}(\mathbf{N})$中，给出闭凸无界集合A的例，其中$C_A = \{0\}$和也就是说，对于 E 中的每个 $b \neq 0$，都存在整数 $k$，其中 $(A + kb) \cap A = \varnothing$。