习题 16, § 2

设 A、B 为 Hausdorff 拓扑向量空间 E 的两个闭凸子集。进一步假设 B 是局部紧致的且$C_A \cap C_B = \{0\}$。证明 $A - B$ 在 E 中是闭的。（令 $b \in B$，W 是 E 中 0 的闭邻域，使得 $B \cap (b + W)$ 是紧致的。令 $c \in A - B$；对于 E 中每个 0 的邻域 V，考虑其中的集合 $M_V$ $y \in B$使得$A \cap (c + y + V) \neq \varnothing$。根据是否存在$M_V$相对紧凑的V，或者不存在这样的V，考虑两种情况，考虑由集合$P_{V,n} = M_V \cap (b + nW)$形成的过滤器基，其中V变化E 中 0 的闭邻域的集合和$n$在$\mathbf{N}$中变化；形式由$P_{V,n}$生成的顶点为$b$的圆锥及其与$b + W$边界的交）。