习题 17, § 2

在 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中，如果对于每个 $z \notin A$，起始于 z 并包含在 $z + C_A$ 中的每条半线都满足 A，则闭凸集合 A 被称为*抛物线*。 a) 给出 $\mathbf{R}^2$ 中抛物线凸集合 A 的例，使得 $C_A$ 不仅仅是一条半线。 b) 令 A 为 E 中的闭凸集合，使得 $C_A \neq \{0\}$，但使得 A 不是抛物线。证明如果$z \notin A$是$z + C_A$包含一条半线D，其端点点z不与A相交，则$A \cup \{z\}$的凸包络线和由A生成的顶点为z的尖锥在E中都不闭合。 此外，如果 D' 是起始于 z 并与 D 相对的闭半线（因此 $D = 2z - D'$），则 $D' + A$ 在 E 中不闭，并且存在平面 P 包含于 D 和闭凸集合 $B \subset P$，使得 $B \cap A = \varnothing$ 但 B 到 $P \cap A$ 的距离（在任何情况下） P) 上的范数是零。 c) 在E中，令A为局部紧致抛物线闭凸集合；表明如果 $B \subset E$ 是闭凸的，则 $A - B$ 是闭的（与练习 16 相同的方法）。 d) 设A、A'为E的两个局部紧致抛物线闭凸子集；表明 $A \cup A'$ 的凸包络线在 E 中是封闭的（与练习 16 中的方法相同）。给出$\mathbf{R}^2$中的例，其中A是抛物线，$A'$是非抛物线，并且$A \cup A'$的凸包络线在$\mathbf{R}^2$中不封闭。

e) 在E中，令A为局部紧致抛物线闭凸集合；表明对于所有 $z \notin A$，由 A 生成的、顶点为 z 的尖凸锥体在 E 中是封闭的（使用 d））。

f) 令$E_1, E_2$为两个豪斯多夫拓扑空间，$A_1$（分别为$A_2$），$E_1$（分别为$E_2$）中的闭凸集合，也是抛物线。证明集合 $A_1 \times A_2$ 在 $E_1 \times E_2$ 中是抛物线。

\* g) 证明无限维数的桶状空间不等于包含局部紧致和非紧致的抛物线闭凸集合。

h) 令$E_0 = l^2(\mathbf{N})$，并且在$E_0$中，令K为点$x = (\xi_n)$中的集合，使得对于所有n来说$|\xi_n| \leq 1/(n+1)$； K 是紧凑的。由 K 生成的顶点 0 的圆锥体 E 为 $E_0$ 的向量子空间，并且 K 在 E 中具有吸收性。令 p 为 K 在 E 中的规范；它是下半连续函数。在赋范的乘积空间 $E \times \mathbf{R}$ 中，证明点 $(x, \zeta)$ 的集合 A，使得 $\zeta \geq (p(x))^2$ 是闭、凸、抛物线且局部紧的。证明 $A + (-A)$ 和 $A \cup (-A)$ 的凸包络不是局部紧致的。 \*