习题 21, § 2

a) 令 $A_i$ ($1 \leq i \leq r$) $r > n + 1$ 为$\mathbf{R}^n$的凸子集族，使得$A_i$中的任何$r - 1$都有一个非空交；表明 r 集合 $A_i$ 有一个非空交 （*Helly 的定理*）。 （设$x_i$为$A_j$的交和指标$j \neq i$的点；存在r数$\lambda_i$，它们不全是零，并且$\sum_{i=1}^r \lambda_i = 0$和$\sum_{i=1}^r \lambda_i x_i = 0$；在最后一个方程中，将项与 $\lambda_i \geq 0$ 放在一边，将 $\lambda_i < 0$ 放在另一边。） b) 给定 $\mathbf{R}^n$ 中的紧凸族集合，如果该族的 $n + 1$ 集合中任意选择的交非空，则证明该族所有集合的交非空。 c) 在$\mathbf{R}^n$中，令K为凸集合，且$(A_i)_{1 \leq i \leq r}$为$r > n + 1$凸集合族。 假设对于 $n + 1$ 指标 $(i_k)$ 中的每个选择，每个小于或等于 r，都存在 $a \in \mathbf{R}^n$，使得 $A_{i_k}$ 中的每个$a + K$ 包含于。 证明存在$b \in \mathbf{R}^n$使得$b + K$包含所有$A_i$。 表明如果将“包含于”替换为“包含在”或“在非空集合中相遇”，则类似的结果成立。 （对于每个指标 i，考虑$x \in \mathbf{R}^n$的集合$C_i$，其中$x + K \supset A_i$（或$x + K \subset A_i$，或$(x + K) \cap A_i \neq \varnothing$））。 推广到 $\mathbf{R}^n$ 的任何紧凸集合族。

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