习题 26, § 2

在 Hausdorff 拓扑向量空间 $E$ 中，令 $A$ 为与以下性质相连的闭闭集合：对于每个 $x \in A$，在 $E$ 中存在$x$ 的闭邻域 $V$，使得$V \cap A$ 是凸的。证明 $A$ 是凸的。为此建立以下叙述。 a) 证明$A$中的任意两个点可以通过$A$中的虚线连接起来（与GT、VI, § 1相同的方法，练习6）。 b) 证明，如果$A$中的两个点可以通过$A$中的虚线与$n > 1$段连接起来，那么它们也可以在$A$中通过$n - 1$段中的虚线连接起来。 （$n$ 约化上的归纳到情况$n = 2$，相当于将$\mathbf{R}^2$视为$E$；然后令$T$为顶点为$a, b, c$的三角形，从而包含闭合的段$ac, bc$在$A$中，但闭线段$ab$不是；考虑$\mathscr{C} A$的交的闭包的点和距线$ab$最远的$T$的内部，并证明这样的点与……矛盾的存在假设。）