习题 39, § 2

令 E 为有限维 Hausdorff 拓扑向量空间。 a) 令$\mathfrak{F}(E)$为E的闭非空集族，携带通过GT、II, § 1、exerc过程从E的一致结构推导出的一致结构。 5、a）。证明，E 的非空闭凸集合的集合$\mathfrak{C}(E)$，在空间$\mathfrak{F}(E)$内闭。推论若E中K为紧集，则K中包含的E中非空闭凸集合的集合，在$\mathfrak{C}(E)$中为紧集（$cf.$GT，§ 4，执行11）。 b) 设$\mathfrak{K}_0(E)$为E的紧凸子集的集合，包含0作为内部点。对于每个集合 $A \in \mathfrak{K}_0(E)$，令 $p_A$ 为 A 的规范（II，p. 20）。证明E中连续实值函数的空间$\mathscr{C}_c(E; \mathbf{R})$子空间上$A \mapsto p_A$是$\mathfrak{C}(E)$的一致子空间$\mathfrak{K}_0(E)$的同构，携带紧收敛的一致结构(GT， X, § 1.6)。