习题 43, § 2

设 K 为全值除法环，其中绝对值值是超量度除法。在 K 上的左向量空间 E 中，如果关系 $x \in A, y \in A, |\lambda| \leq 1, |\mu| \leq 1$ 蕴含 $\lambda x + \mu y \in A$，我们说集合 A 是*超凸*。 a) 概括该命题。 II、p. 8、p. 9 的 1、2、5、6、7。证明最小的超凸集合包含给定的集合M是线性组合$\sum \lambda_i x_i$的集合，其中$x_i \in M$和$|\lambda_i| \leq 1$对于所有i。 b) 假设E是K上的拓扑向量空间。证明超凸集合的闭包是超凸的，并且具有非空内部的超凸集合是开的。 c) 令 A 为 E 中的吸水性且超凸集合。证明，如果对于所有 $x \in E$，我们放入 $p(x) = \inf_{x \in \rho A} |\rho|$，则 p 是 E 上的超半范数 (II，p. 2)。概括道具。 II、p. 20的23，对于从离散估值获得K的绝对值值的情况。