习题 7, § 3

令 T 为可交换幺半群 (A, I, § 2.1)，携带预序关系 $x \leq y$，使得对于所有 $z \in T$，如果 $x \leq y$ 则$x + z \leq y + z$。 如果我们有，则 $\mathbf{R} \cup \{ -\infty \}$ 中 T 的映射 f 称为可加性（或次加性，或超加性）

对于 T 中的任意 $x, y$。 a) 如果 g 是次可加性且递增在 T 中，则函数 $h(x) = \inf_{n > 0} g(nx)/n$ 是次可加性且递增；如果$g(0) \geq 0$，我们有$h \leq g$和$h(0) = 0$。 b) 在同样的假设下，假设T存在两个元素$x_1, x_2$和两个实数$\xi_1, \xi_2$，使得$\xi_1 < g(x_1), \xi_2 < g(x_2)$和$g(x_1 + x_2) < \xi_1 + \xi_2$。 令$y_1, y_2, z_1, z_2$为T的四个元素，令$n_1, n_2$为两个整数$\geq 0$，令$\alpha_1, \alpha_2$为两个实数，使得 然后证明$g(n_2 y_1 + n_1 y_2) < n_2 \alpha_1 + n_1 \alpha_2$。 c) 令$\omega$为T上的超加函数，使得$\omega(0) = 0$，并令$\Omega$为T上的递增次加函数，使得T中的$\omega(x) \leq \Omega(x)$。 证明 T 上存在递增加性函数 f，使得 T 中存在 $\omega(x) \leq f(x) \leq \Omega(x)$。（注递增子加法函数 g 的集合在 T 上，使得 T 中的 $\omega(x) \leq g(x) \leq \Omega(x)$ 对于关系 $\geq$ 非空且可归纳，并取最小值f 的集合的元素；使用 a) $f(0) = 0$ 表示。 To show that there cannot exist pairs of elements of T, $(x_1, x_2)$ such that $f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$ remark that if $\xi_j \in \mathbf{R}$, and $h_j(x) = \inf(n \xi_j + f(y))$ where n varies in the set of integers $\geq 0$ and y in the set of elements of T such that $x \leq nx_j + y$, then $h_j$ is increasing and subadditive in T ($j = 1, 2$), $h_j(x_j) \leq \xi_j$ and $h_j(x) \leq f(x)$ for all $x \in T$. 然后使用 f 的定义和部分 b) 得到矛盾。）