习题 8, § 3

a) 令 K 为非离散值除法环，其中绝对值值是超量度、*非线性紧凑*（cf. CA，III, § 2，练习 15）；则存在数$> 0$的良序集合I和K中的闭球族$(B(\rho))_{\rho \in I}$，使得关系$\rho < \rho'$意味着$B(\rho) \subset B(\rho')$，$B(\rho)$的半径为$\rho$并且$B(\rho)$ 的交为空（CA，VI, § 5，练习 5）。对于每个$x \in K$，都存在$\rho \in I$使得$x \notin B(\rho)$；证明$a\ y \in B(\rho)$的数$\phi(x) =$$|x - y|$既不依赖于$y \in B(\rho)$，也不依赖于$\rho \in I$，从而$x \notin B(\rho)$。如果$\rho \in I$使得$x \in B(\rho)$那么$\phi(x) \leq \rho$。既然这样，对于$(x_1, x_2) \in K^2$，如果$x_2 = 0$则放入$\|(x_1, x_2)\| = |x_1|$，如果$x_2 \neq 0$则放入$\|(x_1, x_2)\| = |x_2| \ \phi(x_2^{-1} x_1)$。证明$\|(x_1, x_2)\|$是$K^2$上的超范数（I，p. 26，练习12），并证明$K \times \{0\}$上不存在$K^2$的范数 1的任何投影。

b) 令 $K$ 为完全非离散值除法环，其中绝对值值为超量度且*线性紧致*。设$E$为$K$上维数2的向量空间，并有超范数，并令$D$为$E$中的一条线；表明对于所有点$x \in E$，存在$y \in D$使得$d(x, D) = d(x, y) = \|x - y\|$（注$D$的交和中心$x$的球是$D$中的球）。

c) 从a)和b)推导出，对于完全非离散值除法环$K$，其中绝对值值是超度量，以下属性是等效的：

$\alpha)$ $K$ 是线性紧的。

$\beta)$ 对于$K$上的每个超范向量空间$E$，对于$E$的每个向量子空间$F$以及$F$上的每个连续线性形式$f$，都存在一个连续线性形式$g$在$E$上，扩展$f$，并且$\|g\| = \|f\|$。 （约化对于$E$等于维数2的情况，使用b）。） \*