习题 16, § 4

a) 令 E 为向量空间，且可枚举基。 证明 E 上的最佳局部凸拓扑是 E 上的最佳拓扑（与 E 的向量空间结构兼容或不兼容），其中诱导是 E 的每个有限维子空间上的规范拓扑。 b) 令 $E_0$ 为无限维 Banach 空间。 令E为向量空间，即$\mathbf{R}^{(N)}$的$E_0$的直和，并令$E_p$为E的子空间，即$E_0$和$\mathbf{R}^p$的直和（标识为第一个p的乘积） $\mathbf{R}^{(N)}$的因子；我们给予其因子的$E_p$乘积拓扑，因此$E_p$的拓扑是由$E_{p+1}$的拓扑诱发的。 证明在 E 上，$E_p$ 的归纳极限拓扑不是最精细的拓扑（与 E 的向量空间结构兼容或不兼容），每个$E_p$ 上的诱导比$E_p$ 上的拓扑更粗糙。 我们可以按如下方式进行： $\alpha)$ 令 q 为 $E_0$ 上的范数，其中定义拓扑比 $E_0$ 严格粗糙（II、p. 74，练习 5）。 对于$\mathbf{R}_+$中$E_0$的每个$\varepsilon > 0$定义映射$f_\varepsilon$乘以关系$f_\varepsilon(x) = \sup(q(x), \varepsilon - \|x\|)$。 证明$f_\varepsilon$是连续的，$> 0$在$E_0$中并且$\inf_{\|x\| = \varepsilon} f_\varepsilon(x) = 0$。 $\beta)$ 令 U 为由 $(x, (t_n))$ 形成的 E 的子集，使得对于所有 n 都有 $t_n < f_{1/n}(x)$。 证明 $U \cap E_p$ 在 $E_p$ 中对于所有 p 都是开放的。 $\gamma)$ 证明如果$V \subset U$ 是吸收凸集合，则$V \cap E_0$ 不能包含 $E_0$ 中中心 0 的任意球。