习题 17, § 4

对于交换性群 G 的子集 A，可加写，并且对于每个 $n > 0$ 表示形式 $\sum_{i=1}^n x_i$ 的元素的集合，其中 $x_i \in A$ 对于所有由 $^n + A$ 表示的 i。如果对于每个整数 $n > 0$ 关系 $nx \in ^n + A$ 蕴含$x \in A$，我们说 G 的集合 A 是*凸*。 a) 表明，如果交换拓扑群 G（加法书写）与局部凸向量空间（具有诱导的拓扑）的加法群子群同构，则 G 中存在 0 的对称凸邻域的基本系统。 b) 相反，令 G 为 Hausdorff 拓扑交换律群（加法书写），其中存在 0 的对称凸邻域的基本系统、$\mathfrak{B}$。证明 G 没有挠元，因此可以（代数上）将其视为 的子群域 $\mathbf{Q}$ 上的向量空间的加法群（A、II, § 7.10，更正 1 至提案 26）。对于每个集合$V \in \mathfrak{B}$，令$\tilde{V}$为元素$rx$的集合，其中$x \in V$和r在有理数的集合中变化，使得$0 \leq r \leq 1$；表明 $\tilde{V}$ 是对称且凸的（在上面定义的意义上）。进一步推论，如果 G 不存在与 G 本身不同的开子群，则集合 $\tilde{V}$ 形式 0 的邻域的基本系统对于拓扑与 E 的向量空间结构兼容$\mathbf{Q}$（$\mathbf{Q}$被赋予通常的拓扑）； 结论，在这种情况下，G 同构于 Hausdorff 局部凸空间的加法群的子群。 c) 令 G 为群 $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ 字典顺序排序（A, VI, p. 7）；考虑 G 上的 Hausdorff 拓扑 $\mathscr{T}_0(G)$ 与其群结构兼容（GT，IV, § 1，练习 1）。证明对于这个拓扑，存在0的对称凸邻域的基本系统，但是G与$\mathbf{R}$上的豪斯多夫拓扑向量空间的加法群的任何子群不同构。