习题 9, § 4

令 E 和 F 为两个向量空间，每个向量空间都有其最细的局部凸拓扑。 a) 证明如果 E 和 F 各有一个可枚举基，则局部凸空间 G 中$E \times F$ 的每个双线性映射都是连续的（使用 Du Bois-Reymond 的 th.FVR、V、p. 53，练习 8））。 b) 若空间 E, F 之一有基，其基数等于连续统的基数，则证明$E \times F$ 中存在不连续的双线性形式。 （约化对于$E = \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$，$F = \mathbf{R}^{\mathbf{N}}$的情况，使得F可以与$E \times F$对应上的$E^*$和双线性形式双射地与$E^*$的线性映射等同；然后考虑恒等映射 $E^*$和注在$\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$，紧集对于乘积拓扑不能是吸收性的。）