习题 2, § 5

令$N$为向量空间$E$中向量子空间$M$中的超平面，并令$A$为$E$中的凸集合，使得$A \cap M$中的所有点位于 $N$ 的同一侧，并且还具有以下性质；对于$E$中的任何$y \neq 0$，存在$x \in A \cap M$使得$x + \lambda y \in A$对于所有$\lambda$使得$|\lambda|$足够小。证明存在$E$的超平面$H$，使得$A$的所有点都在$H$的同一侧，并且$H \cap M = N$。 （约化到 $N = \{0\}$ 的情况；如果 $a \neq 0$ 属于到 $A \cap M$，请考虑顶点为 0 包含 $A$ 的尖凸锥体的集合 $\mathscr{U}$ 而不是包含 $-a$；表明存在极大元素 $C$ $\mathscr{U}$ 并且$C$ 是最大尖凸锥（练习1））。推导出 Hahn-Banach 定理的新证明。