习题 21, § 5

a) 在 $\mathbf{R}^n$ 中，令$a_i$ ($1 \leq i \leq n + 1$) 为$n + 1$ 点，它们是仿射独立的。 Denote the convex envelope of the $a_i$ by S and the convex envelope of the $a_i$ with $i \neq k$ by $F_k$ for $1 \leq k \leq n + 1$. 对于每个k，令$C_k$为紧凸集合包含$F_k$，并假设S包含在$C_k$的并中；然后证明 $\bigcap_{k=1}^{n+1} C_k \neq \varnothing$。 （通过归谬法和$n$上的归纳论证，考虑$C_i$的交$C'_{n+1}$和指标$i \leq n$，并假设$C_{n+1} \cap C'_{n+1} = \varnothing$，这将允许两个凸集合严格分离超平面。） b) 令 X 为 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中的紧凸集合，以及 $(C_\lambda)_{\lambda \in L}$ 包含在 X 中的紧凸集合族，使得对于每个集合 $H \subset L$ 具有$n$（分别为 m） $C_\lambda$ 与指标 $\lambda \in H$ 的元素、交（分别为并）不为空（分别等于 X）。 证明如果 $m \leq n + 1$ 交 $\bigcap_{\lambda \in L} C_\lambda$ 不为空。 （这实际上是证明，对于 $p \geq m$ 指标 L 的任何有限集合 H，我们有 $\bigcap_{\lambda \in H} C_\lambda \neq \varnothing$。 假设结果已被证明为$p - 1$指标，则通过归纳对$p$进行论证。 然后通过反证法进行论证，考虑每个指标 $i \in H$ 点 $a_i \in \bigcap_{\lambda \in H - \{i\}} C_\lambda$，并借助 Helly 的帮助进行展示。 （II，p. 68，练习21）$a_i$生成是维数$p - 1$的线性变体，然后最后应用a)。）