习题 24, § 5

令 $E$ 为无限维、可度量、局部凸的空间。 a) 证明存在$E$的点趋于0的序列$(a_n)$和$E$的闭向量子空间的递减序列$(L_n)$，使得$L_n$具有余维数$E$中的$n$，对于所有$n$、点$a_n$属于到$L_n - L_{n+1}$。 b) 进一步假设 $E$ 完整。证明我们可以找到序列$(a_n)$和$(L_n)$验证条件*a)*，并且在加法中，对于实数$(\lambda_n)$的每个有界序列，级数，其一般项是 $\lambda_n a_n$，在 $E$ 中可交换收敛，并且 $E$ 中的 Banach 空间 $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ 的线性映射 $(\xi_n) \mapsto \sum \xi_n a_n$ 是单射且连续的。 c) 由*b)*推导出，当$E$是无限维Fréchet 空间时，$\mathbf{R}$上$E$的每一个基都有至少等于$2^{Card(\mathbf{N})}$的基数 (cf. I, p. 22,练习5）。 如果存在一个在$E$中稠密的可枚举集合，则$E$的每个基都有连续统的基数。