习题 26, § 5

令 $E$ 为可枚举型的无限维 Fréchet 空间。 a) 证明$E$存在线性独立的元素的序列$(a_n)$，使得每个序列$(a_{2n})$和$(a_{2n+1})$都是总的（使用练习24，*c*）。 b) 令$F$为由$a_{2n+1}$($n \in \mathbf{N}$)生成的$E$的向量子空间。对于每个$n > 0$，让$M_n$是由$a_{2k}$和$k \leq n$生成的子空间。对于每个$n$，令$\phi_n$为$E/M_n$上$E$的典范同态的限制至$F$，并令$\mathscr{T}_n$为$F$上的拓扑，即逆像 $E/M_n$ 上的商拓扑的$\phi_n$。证明$F$上的每个拓扑$\mathscr{T}_n$都是Hausdorff局部凸拓扑，但是$F$上的局部凸拓扑集合中的$\mathscr{T}_n$的下界是$F$上最粗糙的拓扑。 \* c) 将$E$视为希尔伯特空间；表明我们可以选择序列 $(a_n)$，这样如果 $G$ 是由 $a_{4n+1}$ 生成的闭向量子空间，则 $G$ 具有无限余维，因此 $a_{2n}$ 的像和$E/G$中的$a_{4n+3}$仍然是线性独立的。将$E$的子空间写成$G_n$，即由$a_{4k+3}$与$k \leq n$生成的$G$和子空间的和，并给予$G_n$拓扑，即逆像典范映射限制为 $G_n$，拓扑对 $E/M_n$ 的商。证明序列$(G_n)$是拓扑向量空间的归纳系统，使得$G_n$对于$G_{n+1}$的拓扑在$G_{n+1}$中闭，但$G_n$在归纳极限中不闭这序列中的空间。 \*