习题 27, § 5

令 $E, F$ 为两个豪斯多夫拓扑向量空间，并且 $X$（分别为 $Y$）为 $E$（分别为 $F$）中的紧凸凸集合。令$f$为$X \times Y$中定义的实值函数，具有以下属性： (i) 对于所有$x \in X$，映射$y \mapsto f(x, y)$在$Y$中是下半连续的，并且对于$y \in Y$的所有$c \in \mathbf{R}$，集合使得$f(x, y) \leq c$是凸的。 (ii) 对于所有 $y \in Y$，映射 $x \mapsto f(x, y)$ 是$X$ 中的上半连续，并且对于$c \in \mathbf{R}$，$x \in X$ 的集合使得$f(x, y) \geq c$ 是凸的。 表明，在这些条件中，我们有

（通过反证法论证，假设存在数 $c$ 使得 对于所有$x \in X$（或所有$y \in Y$），令$A_x$为$y \in Y$的集合，使得$f(x, y) > c$（或$x \in X$的$B_y$集合，使得$f(x, y) < c$），其开放于$Y$（分别在$X$）；当$x$在$X$变化时（分别$y$在$Y$变化），$A_x$（或$B_y$）形式覆盖$Y$（或$X$）。证明存在两个有限集合 $X_0 \subset X, Y_0 \subset Y$，使得：对于 $Y_0$ 的凸包络$B_0$，所有 $y$ 属于均为 1°，存在 $x \in X_0$ 使得 $f(x, y) > c$，且 $X_0$ 为此最小性质;对于所有$x$属于到$X_0$的凸包络$A_0$，存在$y \in Y_0$使得$f(x, y) < c$，并且$Y_0$对于这个性质来说是最小的。然后对于所有$y \in Y_0$，令$C_y$为$x \in A_0$的集合，使得$f(x, y) \geq c$；使用 exerc. 21、a) 的II、p. 79，表明$y \in Y_0$的$C_y$的交不为空。在$B_0$中同样进行，得到矛盾。）