习题 4, § 5

令 $E$ 为范数空间，$A$ 为由 $E$ 的一致结构导出的完全凸集合。 a) 令$x'$为$E$上的连续线性形式，且以$A$为界。考虑数$k > 0$和$E$中的封闭凸锥$P$，顶点为0并由$x \in E$形成，使得$\|x\| \leq k \langle x, x' \rangle$；这是尖锐而正确的。证明对于$E$上的阶，其中$P$是元素$\geq 0$的集合，集合$A$是归纳的（使用$x'$的限制这一事实来$A$ 是递增并且有界）。 b) 从a)推导出$A$的边界$F$的集合或点，其中属于到$A$的支撑超平面在$F$中密集（Bishop-Phelps th.）。 （对于每个点$z \in F$，考虑点$y \in \mathscr{C} A$任意接近$z$，并通过方程$\langle x, x' \rangle = \alpha$的封闭超平面严格将$y$与$A$分开，与$\|x'\| = 1$并使用a）与$k > 1$一起锻炼。上面 3 条。）