习题 5, § 5

设$A$为$\mathbf{R}^n$中的闭凸集合，$x_0$为$\mathscr{C} A$的点；用 $d$ 表示 $\mathbf{R}^n$ 中的欧氏距离。 a) 显示，不使用 th。 II，p. 36 1，存在且仅有一个点$x \in A$使得$d(x_0, x) = d(x_0, A)$，并且超平面与连接$x_0$和$x$的线正交，并且经过通过$x$是支持$A$中的超平面。 b) 从a) 推导出新的证明。当空间 $E$ 是有限维时，II、p. 36 中的 1。 (约化对于当$M$是$A$的边界点$x_0$时的情况；注，$x_0$距$A$的支撑超平面的距离的下界，是零，并使用$S_{n-1}$的紧凑性。）