习题 5, § 6

令E为$\mathbf{R}^n$上二次形式的向量空间，用阶$n$上方阵的空间$\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$对称方阵的向量子空间来辨识$\mathbf{R}$。 我们赋予$\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$标量乘积$\operatorname{Tr}(X \cdot Y)$，这使我们能够用它的对偶来认同，对于E也类似。 a) 令$P \subset E$为二次形式的集合，其中矩阵具有所有元素$\geq 0$，并令$S \subset E$为$\mathbf{R}^n$中的正二次形式的集合。 证明我们有 $P = P^\circ$ 和 $S = S^\circ$。 b) 令 B 为 $\mathbf{R}^n$ 上的二次形式的集合，对于相同的 $m$ 可以写成形式 $\sum_{j=1}^m {x_j'}^2$，其中 $x_j'$ 是线性形式，对所有值 $\geq 0$坐标$x_i$全部$\geq 0$的$x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$；令 C 为二次形式的集合，对于所有向量 $x = (x_i)$ 为 $\geq 0$，坐标为 $x_i$ 所有 $\geq 0$。 证明$B = C^\circ$和$C = B^\circ$（证明B是闭集，表明B的每个元素都可以写成形式$\sum_{j=1}^m {x_j'}^2$，其中$x_j'$对于所有坐标为$\geq 0$和$m \leq 2^n$的$x$为正）。