习题 7, § 6

a) 令 F, G 为分离对偶性中的两个向量空间和 F 中的弱闭凸锥C。令 M 为 G 的*有限*维向量子空间。表明，要么存在 $y_0 \in C$ 使得 $y_0 \in M^\circ$ 和 $y_0 \neq 0$，要么存在$z_0 \in M$使得$z_0 \in C^\circ$和$z_0 \neq 0$（通过归纳对M的维数进行争论）。如果 C 不存在包含任何行，并且如果“同时”满足前面两个属性，则表明 $z_0$ 不能是 $C^\circ$ 的内部点。 b) 让两个矩阵 $(a_{ij}), (b_{ij})$ 在 $n$ 行和 $m$ 列中具有实际条目，对于每个对 $(i, j)$，$a_{ij} > 0$。证明 $\lambda \in \mathbf{R}$ 存在唯一的值，使得所有 $i, j$ 有两个向量 $x = (x_j) \in \mathbf{R}^m, y = (y_i) \in \mathbf{R}^n$ 满足关系 $x \neq 0,\ y \neq 0,\ x_j \geq 0,\ y_i \geq 0$，最后使得

（用$c_{ij} = \lambda a_{ij} - b_{ij}$代替$1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m$，用$c_{n+i,j} = \delta_{ij}$（克罗内克的指标）代替$1 \leq i \leq m$表明问题约化可以找到向量$x \in \mathbf{R}^m$和向量 $z = (z_i) \in \mathbf{R}^{n+m}$ 非空和满足关系

(3)

(4) $z_i \geq 0$ 对应 $1 \leq i \leq n + m$。 注，如果 (3) 对于 $\lambda$ 的一个值 $\lambda_0$ 具有解，则对于 $\lambda \geq \lambda_0$ 也具有解，并且如果 (4) 对于 $\lambda_0$ 具有解，则它也具有解换$\lambda \leq \lambda_0$。最后使用a)。