习题 8, § 6

令 T 为 $\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ 的紧致空间和 L 向量子空间，即 有限 维数 r；给定由$\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$的球L范数及其对偶$L^*$范数$\|x'\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \langle x, x' \rangle$，因此如果B是L中的球$\|x\| \leq 1$，则$B^\circ$是$L^*$中的球$\|x'\| \leq 1$。

a) 对于所有$t \in T$，在L上为线性形式$x \mapsto x(t)$写下$e'_t$。证明 $B^\circ$ 是 $\pm e'_t$ 的集合的凸包络，其中 t 在 T 中变化（使用II、p. 38 的命题 4 获得矛盾）。

推论每个线性形式$x' \in L^*$使得$\|x'\| = 1$我们可以写出$x' = \sum_{i=1}^r \lambda_i e'_{t_i}$，其中$t_i$是T的r点，$\lambda_i$是实数使得$\sum_{i=1}^r |\lambda_i| = 1$（*cf.*II， p. 66，练习 9，*a*))。

b) 对于每个$y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$，都存在一个*唯一*$x \in L$，使得$\|y - x\| = d(y, L)$，当且仅当对于每个非空$z \in L$，存在*至多*$r - 1$不同的点$t_i \in T$，使得$z(t_i) = 0$（哈尔的第一个）。 （为了证明这个条件是充分的，首先观察它等价于说，对于r个不同的点$t_i \in T$（$1 \leq i \leq r$），$e'_{t_i}$在$L^*$中线性独立。现在通过假设结论为假并获得矛盾来论证。如果存在两个不同的点 L的$x', x''$，使得$\|y - x'\| = \|y - x''\| = d(y, L)$存在$x_0 \in L$和$z \in L$，这样，对于所有足够小的实数$\lambda$，我们有$\|y - (x_0 + \lambda z)\| = d(y, L)$。将*a*)的最后一个部分应用到子空间$L \oplus \mathbf{R}y$ $\mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ 并在该空间上转换为合适的线性形式，该L 消失。要看出条件是必要的，注如果它不成立，则存在r个不同的点$t_i \in T$（$1 \leq i \leq r$），使得$e'_{t_i}$线性相关，并且存在函数$z \in L$不为空并消失于点$t_i$。如果 $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq r$) 是数且并非全部零使得 $\sum_{i=1}^r \alpha_i e'_{t_i} = 0$，则考虑函数 $w \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ 使得 $\|w\| = 1$、$w(t_i) = \operatorname{sgn}(\alpha_i)$ $1 \leq i \leq r$ 和函数 $y = w(1 - |\beta z|)$且$|\beta|$足够小并且$\neq 0$。）

c) 假设T是$\mathbf{R}$中的紧致区间，且L满足Haar th的条件；令$(t_i)_{1 \leq i \leq r+1}$为T的$r + 1$点的严格递增的序列；则存在$r + 1$实非零数$\lambda_i$使得$\sum_{i=1}^{r+1} \lambda_i e'_{t_i} = 0$。 证明然后 $\operatorname{sgn}(\lambda_i) \operatorname{sgn}(\lambda_{i+1}) = -1$ 代表 $1 \leq i \leq r$。 （分别考虑情况$r = 1$和情况$r > 1$。 在第二种情况下，相反地假设对于某些指标$i \leq r - 1$，数$\lambda_i$与$\lambda_{i-1}$或$\lambda_{i+1}$具有相同的符号，而$\lambda_{i-1}$和$\lambda_{i+1}$具有相反的符号。 如果对于例、$\lambda_i > 0$，取$\alpha_{i-1} > 0$、$\alpha_{i+1} > 0$使得$\alpha_{i-1} \lambda_{i-1} + \alpha_{i+1} \lambda_{i+1} = 0$，则取$z \in L$使得$z(t_{i-1}) = \alpha_{i-1}$、$z(t_{i+1}) = \alpha_{i+1}$和$z(t_j) = 0$，对于不同于$i - 1$、i和$i + 1$的j。 推导出 $z(t_i) < 0$ 并证明这个与……矛盾给定的假设。）

d) 使用与*c*)相同的假设和记号，假设存在$y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$和$z \in L$使得$y(t_i) - z(t_i) = (-1)^i \alpha_i$和$\alpha_i > 0$对于$1 \leq i \leq r + 1$。证明我们有 $d(y, L) \geq \inf \alpha_i$。 （使用*a*）应用于$L \oplus \mathbf{R}y$，和*c*）。）

e) 根据 c) 的假设，令 $y \in \mathscr{C}(T; \mathbf{R})$ 和 z 为 L 的唯一点，使得 $\|y - z\| = d(y, L)$。证明 T 中存在严格递增的序列 $(t_i)_{1 \leq i \leq r+1}$ 使得

与$\varepsilon = \pm 1$。相反，如果$z$有这个性质，那么$z$是$L$唯一的点，使得$\|y - z\| = d(y, L)$。 （使用c）和d））。考虑当 T 是 $\mathbf{R}$ 区间且 L 是限制到次数 < r (Tchebycheffs th.) 多项式 T 的集合时的情况。