习题 21, § 7

a) 在 Hausdorff 局部凸空间 E 中，令 A 为局部紧闭凸锥，它不包含任何直线。证明 A 是紧底圆锥体（将 II、p. 55 的命题 2 应用于 A 的顶点，即 A 的极值点）。推论A存在闭支撑超平面H，其包含A的顶点s且满足$H \cap A = \{ s \}$。 b) 设 A、B 为 E 中顶点为 0 的两个封闭凸锥，它们是局部紧致的且不是包含直线。证明如果 $A \cap B = \{ 0 \}$，则 $A - B$ 是一个封闭的局部紧圆锥，而不是包含任何直线（方法如II、p. 67，练习 16）。推断存在一个闭超平面，它同时支持A和B，将A与B分开，使得$H \cap A = H \cap B = \{ 0 \}$。 c) 给出局部紧闭凸锥 A 的例，使得 $A - A$ 不是局部紧致的（*cf.* II，p. 78，练习 11）。 d) 设 A 为 E 中的局部紧闭凸集合，它不是包含一条直线。令 $x_0$ 为 A 的点，$C_A$ A 的渐近锥（*cf.* II，p. 67，练习 14），并且 H 为 $x_0 + C_A$ 经过至 $x_0$ 的支撑超平面这样$(x_0 + C_A) \cap H = \{ x_0 \}$。如果 $f(x) = a$ 是 H 的方程，并且如果 $f(x) \geq a$ 在 $x_0 + C_A$ 中，则证明对于每个实数 b，$y \in A$ 的集合使得 $f(y) \leq b$ 是紧致的。