习题 33, § 7

令 $E$ 为 $E$ 的 Hausdorff 局部凸空间和 $A$ 子集。 a) 用点 $x \in E$ 的 $\Gamma_0(A)$ 集合表示，使得对于*有限*维向量空间、像 $u(x)$ 属于中 $E$ 的每个连续线性映射 $u$ 到$u(A)$ 的凸包络线。这与说相同，对于$E$包含于$x$和有限余维$n > 0$的每个闭线性簇$V$，存在$A$的子集至多有$n + 1$ 元素，其凸包络满足$V$。证明$\Gamma_0(A)$是凸集合包含$A$，$\Gamma_0(\Gamma_0(A)) = \Gamma_0(A)$和$\Gamma_0(A)$包含在$A$的封闭凸包络中（使用II、p. 38的第4条命题）。 b) 设$(x_\alpha)_{\alpha \in I}$是$A$和$(\lambda_\alpha)_{\alpha \in I}$的元素族，是数的正族，使得$\sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha = 1$和族$(\lambda_\alpha x_\alpha)$可在$E$中求和。显示和 $s = \sum_{\alpha \in I} \lambda_\alpha x_\alpha$ 属于到 $\Gamma_0(A)$。 （借助$a$）约化到$E$是有限维并且与$\lambda_\alpha x_\alpha$生成的线性变化相同；然后通过*归谬法*进行论证，考虑到，对于$I$的每个有限子集$J$，一个封闭的超平面$H_J$穿过$s$并且不满足$x_\alpha$的集合的凸包络，使得$\alpha \in J$，然后使用单位球体在有限维空间中的紧致性。） c) 证明如果$A$ 是紧致的，则$\Gamma_0(A)$ 与$A$ 的凸闭包络线相同。 d) 如果$K$是$E$中的紧凸集合，并且其极值点的$A$集合表明$K = \Gamma_0(A)$（使用II、p. 90的练习22，b），并且锻炼。 32）。 e) 以记号 II、p. 74 进行锻炼。 3、设$A$是由$\varepsilon_x$组成的集合，其中$x$在有理数数的集合中变化，使得$0 \leq x \leq 1$。证明 $\Gamma_0(A)$ 不同于 $A$ 的凸包络线以及 $A$ 的凸封闭包络线。

习题

TVS II.93