习题 39, § 7

令 $H$ 为 Hausdorff 局部凸空间 $E$ 中的闭超平面，它不为包含 0，并令 $S$ 为$H$ 中包含的紧致*单纯形*（II，p. 71，练习 41）。 a) 令$C$为由$S$生成的顶点为0的圆锥体。证明如果$(x_i)_{i \in I}$和$(y_j)_{j \in J}$是$C$的点的两个有限族，且$\sum x_i = \sum y_j$，则存在$C$的点的有限族$(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$，使得$x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$对于所有$i \in I$且$y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$适用于所有$j \in J$（针对$I = J = \{1, 2\}$的情况，通过归纳到约化进行争论）。 b) 令 $f$ 为 $S$ 中的凸上半连续函数。证明函数$\tilde{f}$（在练习38中定义）是一个*仿射*函数。 （首先约化到$f$是*连续*的情况，通过使用exerc.38，b）和II，p. 81，exerc。 28.接下来使用如果$f$连续，则$\tilde{f} = f'$（练习38，e））的事实，并证明$f'$是凸的，使用a）在$\alpha_1 \geq 0, \alpha_2 \geq 0, \alpha_1 + \alpha_2 = 1$时将$f'(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2)$限制在上面。）