习题 7, § 7

令$E$为有限维$n$的向量空间，并令$A$为$E$中的闭凸集合，其中$0$为内部点。 a) 设$F$和$F'$为$A$和$A^\circ$的两个对偶面（练习6）；如果$F$是维数$p$并且$F'$是维数$q$，则显示$p + q \leq n - 1$。对于$A$的每个边界点$x$，$A$中$x$的面的维数称为$x$的阶，并且$A^\circ$中其对偶面的维数称为类共$x$。 $A$ 的刻面 $F$ 的阶（分别为类）与 $F$ 的内部点之一的定义阶（分别为类）相对于由 生成的线性变化$F$。 $A$ 的极值点是阶 $0$ 的点； $A$ 的平滑点（练习 6）是类 $0$ 的点。 b) 类 $n - 1$（因此阶$0$）的$A$的边界点称为$A$的顶点。证明 $A$ 顶点的集合是可枚举的（考虑 $A$、GT、VI, § 2 顶点的对偶面集合，练习 12）。 c) 设$F$为$A$的$p$维小平面，$M$为维数$n - p$的线性变体，它在单个点$a$中满足$F$，使得$a$是$F$的内部点，并且包含是$A$的内部点。证明，如果$V$是$M$中$M \cap A$的支持超平面，经过$a$，则$F \cup V$（在$E$中）生成的超平面$H$是超平面的支持超平面 $A$。 d) 如果$p + q = n - 1$，我们说阶$p$和类$q$的$A$的面$F$是一个ultrafacet；那么双面也是 $A^\circ$ 的超面。如果维数$n - p$的线性簇$M$在单个点中遇到超面$F$，即$F$的内部点（相对于$F$生成的线性簇），则表明此点是凸集合$M \cap A$的顶点，反之亦然（使用c））。推出$A$的阶$p$的ultrafacet集合是可枚举的。 （认同 $E$ 和 $\mathbf{R}^n$，考虑维数 $p$ $\mathbf{R}^n$ 的每个坐标变种上的 $A$ 投影；如果阶的超小面的集合 $p$，其中$V$上的投影是$p$维，不可枚举，表明存在$V$的点，它是这些投影的不可枚举无穷大的内部点，考虑到具有有理坐标的 $V$ 的点；然后使用 b)。) 给出具有不可枚举的无穷多面的凸集合的例，其中每个面都不是单个点也不是超面。 e) 如果$A$的所有边界点都是光滑的，则证明映射，这会将$A$的边界$G$的每个点$x$放入对应中，并具有对偶面的唯一点 $x$，是$A^\circ$边界上$G$的连续映射（cf. TG，I, § 9.1，推出）。在什么情况下这个映射是双射的？