习题 1, § 1

令 E 为非离散拓扑域 K 上的左拓扑向量空间。如果对于 E 中 0 的每个邻域 V，K 中存在 $\lambda \neq 0$ 使得 $\lambda B \subset V$，则称 E 的子集 B 是有界的。 a) 证明如果 B 有界于 E，则对于 E 中每个 0 的邻域 V，K 中存在 0 的邻域 U，使得 $U.B \subset V$。 b) 证明 E 中的有界集合的闭包是有界的。两个有界集合的并是有界的。 E 中的每个预紧式集合都是有界的。 扩展 III、p. 4、道具的推论。 4 到 K 上的拓扑向量空间。 c) 证明如果 A 是 K 中的有界集合（视为自身左侧的向量空间）并且 B 是 E 中的有界集合，则 A.B 在 E 中有界。 d) 扩展道具。 III、p. 4中的3对于K是可度量拓扑划分环的情况。 e) 准完备空间的扩展概念及其拓扑向量空间的性质。