习题 10, § 1

设 $(E_i)_{i \in I}$ 是非离散拓扑域 K 上 Hausdorff 拓扑向量空间的无限族，没有一个只是点 0。设 E 为 $E_i$ 的直和向量空间，以及定义于 E 上的 $\mathscr{T}_0$ 拓扑 I，p. 24，锻炼。 14. 那么 E 的子集 B 有界为 $\mathscr{T}_0$ (III, p. 37, 执行. 1) 当且仅当 B 包含在乘积子空间 $\prod_{i \in H} E_i$ 中，其中 H 是 I 的有限子集且$i \in H$ 的每个 $E_i$ 上的 B 投影是有界的。推断（对于$K = \mathbf{R}$或$\mathbf{C}$），如果每个$E_i$是准完备的空间，则带有$\mathscr{T}_0$的E是准完备的。