习题 11, § 1

令 E 为具有非离散估值的域 K 上的拓扑向量空间。 a) 为了使 E 的平衡子集 A 吸收 E 的每个有界子集（III，p. 37，练习 1），A 吸收 E 中每个趋于 0 的序列 $(x_n)$ 的集合或点就足够了。 那么 A 被称为“食肉动物”。 b) 令 u 为从 E 到 K 上的拓扑向量空间 F 的线性映射。 u 下 E 的每个有界子集的像在 F 中有界当且仅当 E 的点的每个序列 $(x_n)$趋于 0，序列 $(u(x_n))$ 在 F 中有界。 c) 假设 E 是可度量的。 证明 E 的每个食肉性子集都是 E 中 0 的邻域。 Deduce that if u is a linear mapping from E into a topological vector space F over K which transforms every sequence converging to 0 in E into a bounded sequence in F, then u is continuous on E.