习题 15, § 1

在 $\mathbf{R}$ 上的豪斯多夫拓扑向量空间 E 中，令 A 为紧凸凸集合，B 为闭凸有界集合。证明并 $A \cup B$ 的凸包络C 是一个闭集合。 （考虑 C 闭包中的点 z，但不在 A 中，以及 $z = 0$ 的情况，考虑约化。观察存在 0 的邻域 V 和数 $\alpha < 1$，使得关系 $0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B,\ \lambda x + (1 - \lambda) y \in V$ 意味着 $\lambda \leq \alpha$。接下来，对于 0 的每个邻域 W，考虑三元组 $(\lambda, x, y)$ 的集合，使得 $\lambda x + (1 - \lambda) y \in W,\ 0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B.$）