习题 17, § 1

设A为从$\mathbf{N}$到$\mathbf{N}$的单调递增映射$\geq 1$的集合；对于每个$\alpha \in A$，让$B_\alpha$表示所有点$z = (z_n) \in \mathbf{R}^\mathbf{N}$中的集合，这样$|z_n| \leq \alpha(n)$代表所有$n \in \mathbf{N}$。 a) 证明集合 $B_\alpha$ 形式基对于空间 $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ 的所有有界子集的出生学。 b) 对于每个$\alpha \in A$，集合$\mathbf{R}B_\alpha$是$\mathbf{R}^\mathbf{N}$的向量子空间，与$\mathbf{R}^\mathbf{N}$不同并且在$\mathbf{R}^\mathbf{N}$中密集；因此，在$\mathbf{R}^\mathbf{N}$上存在线性形式$f_\alpha \neq 0$（不连续），使得$f_\alpha(z) = 0$对于所有$z \in B_\alpha$。 c) 令E为从A到$\mathbf{R}^\mathbf{N}$的所有映射$g : \alpha \mapsto (g_n(\alpha)) \in \mathbf{R}^\mathbf{N}$中的向量空间由……组成，使得对于所有$n \in \mathbf{N}$，和$p_n(g) = \sum_\alpha |g_n(\alpha)|$是有限的。证明 $p_n$ 是 E 上 Fréchet 空间的定义拓扑的半范数。 d) 令 H 为所有 $h \in E$ 中的集合，使得对于所有 $\alpha \in A$ 为 $h(\alpha) \in \mathbf{R}B_\alpha$；证明 H 是 E 的处处稠密向量子空间（观察每个 $h \in E$ 使得 $h(\alpha) = 0$ 除了 $\alpha \in A$ 属于到 H 的值的有限数）。 e) 设$E_0 \subset E$为所有$g \in E$中E由……组成的向量子空间，使得$\sum_\alpha |f_\alpha(g(\alpha))| < +\infty$； 映射 $u : g \mapsto (f_\alpha(g(\alpha)))_{\alpha \in A}$ 则线性映射从$E_0$进入巴纳赫空间$F = \ell^1(A)$（I，p. 4）。证明$u(E_0)$在F中处处稠密（观察对于A的每个有限子集J，都存在$g \in E_0$，使得$g(\alpha) = 0$对于所有$\alpha \in A - J$，并且$\alpha \in J$的$f_\alpha(g(\alpha))$在$\mathbf{R}$中取任意值）。证明 $u^{-1}(0)$ 在 $E_0$ 中处处稠密（使用 d））。最后，证明对于 E 的每个有界子集 C，都存在 $\alpha_0 \in A$，使得对于所有 $g \in C \cap E_0$ 都有 $f_{\alpha_0}(g(\alpha_0)) = 0$，并推断 F 中 $u(C \cap E_0)$ 的闭包不是 F 中 0 的邻域。 f) 令 G 为 u 在 Fréchet 空间 $E \times F$ 的 $E_0 \times F$、向量子空间中的图。证明 G 在 $E \times F$ 中处处稠密（观察对于每个 $x \in E_0$，$x + u^{-1}(0)$ 在 E 中都是稠密的）。然而，证明对于 G 的每个有界子集 M，$E \times F$ 中 M 的闭包 $\overline{M}$ 不会包含 $E \times F$ 的有界集合 $\{0\} \times U$，其中 U 是 F 中的单位球（如果$N = pr_1(M)$，观察到由于 e)，$u(N)$ 不能包含 U)。