习题 2, § 1

a) 令 E 为非离散拓扑域 K 上的左拓扑向量空间。证明如果在有界 E 中存在 0 的邻域 V（执行 1），则对于 $\lambda \in K$ 和 $\lambda \neq 0$，集合 $\lambda V$， E 中 0 的形式邻域的基本系统。如果 K 可度量，则与 E 的拓扑 (GT, III, § 2, No. 6) 相关的 Hausdorff 拓扑是可度量的。如果$K = \mathbf{R}$或$K = \mathbf{C}$，E上的局部凸拓扑是比E上给定的拓扑更粗糙的最精细拓扑（II，p. 80，练习23）可以由单个半范数定义。 b) 证明局部凸 Hausdorff 空间（其中没有一个是 0）不能的无限乘积的拓扑由单个半范数定义。 c) 令 E 为局部凸空间，其拓扑由半范数递增序列 $(p_n)$ 定义。在阶中，E的拓扑由单个半范数定义，存在整数$n_0$是必要且充分的，使得对于每个$n \geq n_0$，存在数$k_n \geq 0$，使得对于所有$x \in E$存在$p_n(x) \leq k_n p_{n_0}(x)$。 d) 令 E 为内部 $I = (0, 1)$ 上无限可微数值函数的 $\mathbf{R}$ 由……组成上的向量空间。对于每个整数 $n \geq 0$，令 $p_n(f) = \sup_{0 \leq k \leq n} (\sup_{x \in I} |f^{(k)}(x)|)$ （其中 f^{(0)} = f）；表明$p_n$是E上的范数，并且拓扑由范数的序列定义，$p_n$不能由单个范数定义。