习题 7, § 1

a) 设 E 为无限维 Banach 空间，并令 $\mathscr{S}$ 为 E 的紧凸平衡子集族，对于关系 $\subset$，其为有向集合。证明 E 是 Banach 空间 $E_A$ 的归纳法系统的归纳法极限，其中 A 穿过 $\mathscr{S}$。 （通过反证法证明邻域V为0，对于$E_A$包含拓扑的感性极限拓扑为中心0的球；为此，注否则存在序列 E 的点的 $(x_n)$ 使得 $\|x_n\| \leq 1/n^2$，并且不会属于到 V。） 由此推断，E 中存在有界子集，且不包含在 $A \subset \mathscr{S}$ 的任何 $E_A$ 中。

b) 令 E 为无限维 Banach 空间。在向量空间 $\prod_{m=1}^\infty E_m$ 上，其中$E_m = E$ 对于每个 m，令 $\mathscr{T}_n$ 表示通过在每个 $E_m$ 上对 $m \leq n$ 取巴拿赫空间拓扑的乘积获得的拓扑，并且对于$m > n$，$E_m$上最精细的局部凸拓扑； $F_n$表示空间$\prod_{m=1}^\infty E_m$与拓扑$\mathscr{T}_n$的局部凸。每个恒等式映射$F_n \to F_{n+1}$都是连续的；表明，感性系统$F_n$的感性极限空间是空间F，通过分配给$\prod_{m=1}^\infty E_m$拓扑获得，这是每个Banach空间拓扑的乘积因子。由此推断，F 中存在有界子集，但在任何 $F_n$ 中都没有界。