Bourbaki

习题 9, § 1

标签 07LY，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 07LY]。

拓扑向量空间, III, p. 38

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令E为向量空间超过R\mathbf{R}由……组成在区间I=[0,1]I = [0, 1]上所有调节的函数（FVR，I，p. 4）。对于每个整数n>0n > 0，令VnV_n为所有函数f∈Ef \in E中的集合，使得∫01∣f(t)∣ dt≤1/n\int_0^1 \sqrt{|f(t)|} \, dt \leq 1/n。证明集合 VnV_n 形式邻域的基本系统为 0，对于可度量的拓扑，它与 E 的向量空间结构兼容，并且对于这个拓扑集合 VnV_n 有界；但每个VnV_n的凸包络是整个空间E。（观察到每个函数f∈Ef \in E都可以写成f=12(g+h)f = \frac{1}{2}(g + h)，其中gg和hh属于到E，并且

∫01∣g(t)∣ dt=∫01∣h(t)∣ dt=12∫01∣f(t)∣ dt.) \int_0^1 \sqrt{|g(t)|}\ dt = \int_0^1 \sqrt{|h(t)|}\ dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \sqrt{|f(t)|}\ dt.)

由此推断，E 中唯一比拓扑粗糙的局部凸拓扑是 E 上最粗糙的拓扑。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。