习题 2, § 2

设I为无限集合，$(E_i)_{i \in I}$为局部凸空间族，其中没有一个为0。 a) 假设每个空间 $E_i$ 都是出生性的。证明，如果加法、乘积空间 $\mathbf{R}^I$ 是出生学的，那么乘积 $E = \prod_{i \in I} E_i$ 是出生学的（使用 III、p. 11，命题 1 (iii)）和 p. 39，锻炼。 15、约化到证明如下：线性映射$f$从$E$到Banach空间，其中变换每个有界集合到有界集合，并且其限制到每个$E_i$ 为空，在 $E$ 上也必然为空。为此考虑，对于$\mathbf{R} x_i$行的$f$到乘积的每个$x = (x_i) \in E$、限制。 b) 从a) 推导出，出生学空间的*序列* ($E_n$) 的每个乘积都是出生学的。