习题 10, § 3

令$E$为拓扑向量空间，即贝尔空间，$F$为拓扑向量空间。 a) 证明，如果 $\mathscr{L}(E; F)$ 的子集 $H$ 有界于简单收敛的拓扑，则 $H$ 是等连续的（对于 $F$ 中 0 的每个闭邻域 $V$，考虑集合 $M_n = \bigcap_{u \in H} u^{-1}(nV)$）。 b) 证明，如果$\mathscr{L}(E, F)$的子集$H$不等连续，则所有$x \in E$中$H(x)$不受$F$限制的集合是第一类别集合的补集。由此推论，如果$(H_n)$是$\mathscr{L}(E; F)$的子集的序列，并且不等连续，则存在$x \in E$，使得集合$H_n(x)$都没有界于$F$（*原理的凝结）奇点*）。