习题 14, § 4

a) 令 E 为具有有限余维的 E 的 Hausdorff 局部凸空间、L 子空间，以及 T L 中的桶。证明 E 中存在一个桶 $T'$ 使得 $T' \cap L = T$ （证明我们可以取 E 中 T 的闭包 $\overline{T}$ 和有限维紧凸凸集合的 $T'$ 和）。 b) 令 E 为 E 的桶状空间、L 子空间，其补码具有可数基。证明 L 已装桶（使用 a）并执行。 13，b))。 \* c) 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间；它的完成$\hat{E}$可以用封闭的

习题

桶装空间 F 的子空间，这是 Fréchet 空间家族的乘积（II、p. 5，第 3 条和IV、p. 14，推论）。令$(e_\alpha)_{\alpha \in A}$为子空间E的F中的补集基，并令$H_\alpha$为由E生成的F中的超平面以及指标$\beta \neq \alpha$的$e_\beta$；由b)可知，$H_\alpha$是桶装的空间。对于每个$x \in E$，令$u(x)$为桶状空间$G = \prod_{\alpha \in A} H_\alpha$（$F^A$的子空间）的点，所有坐标都等于$x$； $u$ 是从 E 到子空间 $\Delta \cap G$ 的同构，其中$\Delta$ 是$F^A$ 中的对角线。证明 $u(E) = \Delta \cap G$ 在 G 中是闭的，因而*每个* Hausdorff 局部凸空间同构于 Hausdorff 桶状空间的*闭* 子空间。 \*