习题 16, § 4

设$(E_i)_{i \in I}$是Hausdorff桶装空间的不可数族，其中没有一个点0，并设$E = \prod_{i \in I} E_i$；那么 E 被装桶（IV，p. 14，推出）。令 G 为所有点 $(x_i)$ 中 E 由……组成的子空间，使得 $x_i = 0$ 除外，指标的*可数* 数除外。 G 的点的每个序列收敛于 E，对 G 都有极限属于，但 G 在 E 中是稠密的。 a) 证明$G' = E'$的每个子集 M（以$\sigma(E', G)$为界）包含在有限的乘积$\prod_{i \in H} E'_i$（IV，p. 12，命题13）中，其中H是I的有限子集；因而 M 的边界为 $\sigma(E', E)$。由此推断G是桶装的。 b) 设 F 为 E 的子空间，使得 $G \subset F \subset E$ 且 G 为 F 中的超平面（处处稠密）； F 被桶装（练习 15）。证明 F 不是天生的。 （通过 reductio ad absurdum 论证；如果 F 中存在一个凸、平衡且有界的集合 A，使得 G 是范数空间 $F_A$ (III，p. 7) 中的处处稠密超平面，那么将存在序列 G 的点收敛到 F 的点，而不是属于收敛到 G）（*cf.* IV、p. 52，练习 2）。 \*