习题 19, § 4

如果 E 的每个凸子集吸收了 E 的所有凸、平衡、有界和半完全子集，并且是 E 中 0 的邻域，则 Hausdorff 局部凸空间 E 被称为*超出生性*。 a) 表明每个超出生学空间既是出生学的又是桶装的。 b) 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间，使得每个序列趋于 0 的点的集合的封闭、凸、平衡包络线是半完备的。证明如果 E 是出生学的，那么它是超出生学的。特别是每一个出生学和准完整的空间都是超出生学的；每一个 Fréchet 空间都是超出生学的。

c) 令$(E_\alpha)$为向量空间$E$的向量子空间的有向递增族，使得$E$是$E_\alpha$的并。令$\mathscr{T}_\alpha$为每个$\alpha$在$E_\alpha$上的局部凸拓扑，并令$\mathscr{T}$为最细的局部凸拓扑，其中典范嵌入从$E_\alpha$到$E$是连续的。假设$\mathscr{T}$是Hausdorff，并且对于每个$\alpha$，由$\mathscr{T}$诱导的$E_\alpha$上的拓扑是$\mathscr{T}_\alpha$。证明如果空间 $E_\alpha$ 都是超出生学的，那么 $E$ 和 $\mathscr{T}$ 都是超出生学的。

d) 证明超生性空间的每个有限乘积都是超生性的；推论超出生学空间的每个拓扑直和都是超出生学的。

e) 证明超级出生学空间的无限序列的乘积空间$E = \sum_{n=0}^\infty E_n$是超级出生学的。 （令$A$为$E$的凸子集，它吸收$E$的每个凸、平衡、有界和半完全子集。表明，如果$A$不是$E$中0的邻域，则存在序列$(x_n)$在$A$中，使得$x_n$有它的第一个$n-1$坐标零，但是$\neq 0$接下来观察这样的序列的点的集合的封闭凸平衡包络线与序列相同。 集合于点 $\sum_{n=0}^\infty \lambda_n x_n$，其中 $\sum_{n=0}^\infty |\lambda_n| \leq 1$，并且该信封是半完整的集合。）